22. 两个天才捣蛋学生(下)--贝尔不等式的简单数学解释

上一期我讲了有两个天才捣蛋学生的故事后，得到了一些很好的反响。特别是得到汪洁老师给我评论说我的故事编的很好，我非常高兴。但也有听众表示还是听不出我的故事中的精妙之处，我后来想了下，发现我的故事收尾可能太快了。所以今天我想给我上一期的故事再续个下篇。如果你没有听过我上期的节目，你赶紧暂停，先听上一期再返回来听。如果你听过了，那且听我把故事继续下去。每周一题 （与微信订阅号“大老李聊数学”同步更新）本周题目是一道几何题，请问如下的三角形里，可以放入的最大的矩形面积有多大？提示：可以先考虑一般化的问题，任意三角型内，可以放入的最大矩形面积是多少？上周答案：上周题目：你有一真一假两枚硬币，外观完全一样，重量也一样。真币投掷出去正面向上的概率为50%，假币为60%。请问你要经过至少多少次投掷，才能以95%概率，确定哪一枚是假币？为便于理解问题，请参考以下例子：如果假币总是正面向上，那么你投掷一次，如果一正一反，则你必知正面向上为假币，如果两枚都是正，则你只能随便猜一枚。因此，你总体上能找出假币的概率是1/2+1/4=3/4。上周问题的答案是143次！这道题的实质就是至少要掷多少次，才能使假币正面向上的次数以95%的概率多于真币，此时，你只要猜正面向上的那枚硬币即可。掷硬币的概率符合二项式分布。对n次投掷，假币k次向上，真币j次向上的概率为：则对n次投掷，满足k<=n且k>j的概率为：可以算得，当n=143时，上式约等于95.01%。有意思的是有人就这个问题，进行了一次小的调查，并发表了一篇经济学论文。此人就此问题向许多财经学家询问，让他们不用计算，只估计一下答案。结果绝大多数人估计的答案远小于143，中位数是40。下图横轴为一枚假币正面向上概率，纵轴为至少需要掷多少次才能95%的概率找出假币：欢迎订阅大老李聊数学：

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