S2E01 - 选还是不选? - 选择公理之争

要讲选择公理，就不得不先讲一下所谓数学的第三次危机，也就是由著名的罗素悖论引发的一场危机。简单回溯一下历史，那是在19世纪后半页，数学家们开始逐渐意识到数学的理论基础是不完善的，需要重新构建数学的基础，就像欧几里得几何一样。欧式几何，通过5条简短的公理就能推导出一整套数量庞大且堪称完美的几何定理和结论。所以数学家希望对代数学也建立这样一套公理系统，更重要的是逻辑推理的规则系统。而恰好康托对无穷集合有了很多研究，数学家发现用集合概念来建立数学基础也许是合适，因为集合的概念确实足够简单和平凡，而且看上去所有数学研究对象都可以用集合来描述出来，所以人们就希望用集合论来建立一套基础。......       在研究连续统假设过程中，康托他发现他很需要一个称为“良序原理”的东西。优良的良，秩序的序，意思就是良好的秩序。康托发现，如果一个集合天然有一个“最小”元素，无论以何种方式定义大或小，只要能找到这个最小元素，那这个集合就可以被称为良序的。康托希望所有非空集合都是良序的，但是显然你没法把它作为公理，因为这个命题距离”显而易见”，”不证自明”，是有明显距离的。      策梅洛就开始设法帮助康托来证明良序原理，而他的方法就是提出了一条新的公理，这条公理可以推出良序原理，它被称为选择公理。选择公理有很多等价的表述形式，其中一种比较简单的表述，大致意思是，对任意数量的非空集合，总能从每个集合中选出一个元素来构新的集合。因为这里面涉及到从一个非空集合里选择一个元素的动作，所以这条公理被称为选择公理。这条公理看上去是不是天经地义的？如果是非空集合，里面至少有一个元素，那我自然可以选择出一个元素出来。而问题在于选择的方法。选择公理里并不要求选择的方法，而是默认可以选择，这时，如果涉及到无穷集合就会出现让人起疑的地方了。订阅大老李聊数学公众号：

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