26. “随机”数中错误假设--从“本福特定律”到“双信封悖论”

（文末有“每周一题”和上期答案）一个叫弗兰克.本福特的物理学家在1938年发现身边的很多随处可见的一批数字的分布是有规律的，比如我们看看当初本福特在其发表的文章中举过的例子：335条河流的长度或区域的面积，这个区域猜想可大到国家，小到一个学校这种；3259条人口数据，这里也没有尺度，不过既然多达3000多条，那肯定也是有国家有城市有乡村不同大小区域的人口数据；104个物理数学常量，100份报纸上出现的数字等等等等。现在问你，以上这些不同类别的数字，尽管单位各不相同，我现在问你，只看数字，以1开头的数字比例有多少，以9开头的又有多少？可能你的第一感就是这两者应该都一样的，应该都是1/9，也就是11%左右。但是本福特发现，这些数字中是1开头的数字特别多，达到30%，然后逐步减少，到9开头的数字特别少，大概只有4.5%了，这是不是有点意外？而这个数字分布规律后来就被称为本福特定律。本福特定律分布公式，10进制中以D开头的数字概率为：计算结果为：每周一题：幸运转盘转到多少停下来？（附上周答案）本周题目：幸运转盘转到多少停下来？(来源：fivethirtyeight.com)你在参加一个电视游戏节目，节目中有一次摇大奖机会，但你要与另两名参与者竞争！游戏规则如下：有一个大转盘，转盘上有20格，每一格标注有5，10，15…，100。每人可以转动一次或两次转盘，你的目标是两次旋转后，转盘停止时（转盘会停在一个随机位置，每个位置机会均等），两个数字相加值尽可能接近100，但是一旦大于100则立即出局（最后若有玩家相等，则再转一次，数字高者胜）。最接近但不超过100的玩家可获得大奖！你现在抽签后是第一个转动转盘，请问你在第一次转动后，当转盘数字大于多少时，应该放弃第二次转动？假设后面的两个玩家都会采用最佳策略，且他们能看到之前的玩家的数字结果。上期答案：上周题目是：你正在跟一个女孩约会，你想给她买一部手机作为礼物。你挑选了一部手机型号，不过你不知道女孩最喜欢哪种颜色的手机。手机可选颜色分别是红，黄，蓝，绿。但女孩并不想直接告诉你她喜欢的颜色，而是要考验你一下。女孩已经将四种颜色从最喜欢到最不喜欢在心里排好序。她允许你每次将任一个颜色序列向她询问，然后她会回答里面有几种颜色正好是她心目中的位置。比如，女孩心中的颜色序列是：红，黄，蓝，绿。如果你问：“蓝绿黄红”，则女孩回答“0”，你若问：“红绿蓝黄”，则女孩回答“2”。请问，在最不走运的情况下，你至少需要问几次，可以完全确定女孩心中的颜色偏好排列？注：为明确起见，需要一直问到女孩回答“4”算结束，尽管实际上最后一次你可能是已经确定排列顺序了。有读者回答24次，这是四种颜色全排列数量，那就太多了，女孩可能会觉得你太笨：）。正确答案是5次！比如，你一开始把颜色排成ABCD：女孩回答0，则你交换AB，询问BACD女孩回答0， 则知道AB不可能是第1第2，则询问CDBA女孩回答2，则交换CD，询问DCBA女孩回答0,   则CD, AB分别交换，询问CDAB。（根据规则，必须再询问一次，虽然你知道这肯定是正确答案）女孩肯定回答4！看这个分支图就可以应对所有情况了：恭喜Magician答对了，下周再见！订阅“大老李聊数学”订阅号：

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